Лимит алгебра что такое

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Алгоритм вычисления лимитов

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Предел функции.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x₀, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x₀, и которая сходится к точке x₀ (lim x_n = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x₀ в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x₀, но которая не содержит x₀ как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x₀), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Ответ

Необходимо рассчитать предел

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Источник

Предел функции: основные понятия и определения

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Решение

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Решение

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Решение

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Источник

Что такое предел функции

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

Знаменатель () изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на ():

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Источник

Что означает предел в математике

Сага о погрешностях при участии слова lim

Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной.

Что такое предел в математике

Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:

Самое простое объяснение функции в математике.

👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.

Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности

Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.

Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:

График и предел

Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.

Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.

Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.

Погрешность в пределах

В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.

Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.

Считаем предел в программировании

Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).

Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:

Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

⚠️ Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.

С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.

Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.

Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:

Программа справилась и выдала результат с нужной нам точностью

Источник