Что такое сонаправленные стороны

Определение сонаправленных лучей.

Тема: « Углы и расстояние в пространстве ».

1. Скрещивающиеся прямые. Теоремы о скрещивающихся прямых.

2. Углы с сонаправленными сторонами.

3. Угол между прямыми.

Скрещивающиеся прямые.

Определение. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые, имеющие лишь одну общую точку, называются пересекающимися.

Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1) прямые пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку;

2) прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

3) прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости.

AB⊂α, CD α=C, C ∉ AB

Доказать: AB скрещивается с DC

Доказательство.

Доказательство будем вести методом от противного.

Допустим, АВ и CD лежат в некоторой плоскости β.

Тогда плоскость β проходит через прямую AB и точку C.

Через прямую AB и не лежащую на ней точку C можно провести плоскость, и притом только одну (следствие из аксиом).Следовательно, β≡α.

Но это невозможно, т.к. прямая CD пересекает α. Пришли к противоречию, ⇒ AB и CD лежат в разных плоскостях (скрещиваются). Теорема доказана.

Теорема 2.Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Дано: АВ и CD – скрещивающиеся прямые.

Доказать: ∃ α: AB ⊂α, CD∥α

Доказательство.

2) Проведем плоскость α через пересекающиеся прямые AE и CD.

3) CD ∥ AE, AE ⊂ α ⇒ CD ∥ α.

Любая другая плоскость будет пересекать AB, а значит и параллельную ей прямую CD. Поэтому α – единственная. Теорема доказана

2. Углы с сонаправленными сторонами.

Определение сонаправленных лучей.

Любая прямая, например ОО₁, рассекает плоскость на две

полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат

в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₂А₂ и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами.Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О₁А₁ и параллельные

стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти

На стороне луча ОА и О₁А₁ выберем точки А и А₁так, чтобы отрезки ОА и О₁А₁ были равны. Аналогично, точки В и В₁ выберем так, чтобы отрезки ОВ и О₁В₁ были равны. Рассмотрим четырехугольник А₁О₁ОА. В этом четырехугольнике стороны ОА и О₁А₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А₁О₁ОА является параллелограммом. Так как А₁О₁ОА – параллелограмм, то стороны ОО₁ и АА₁ параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В₁О₁ОВ. В этом четырехугольнике

стороны ОВ и О₁В₁ параллельны и равны. По признаку

параллелограмма, четырехугольник В₁О₁ОВ является

параллелограммом. Так как В₁О₁ОВ – параллелограмм, то

стороны ОО1 и ВВ₁ параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В₁А₁АВ. В этом четырехугольнике стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁А₁АВ является параллелограммом. Так как В₁А₁АВ – параллелограмм, то стороны АВ иА₁В₁ параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А₁О₁В₁. Стороны ОА и О₁А₁ равны по построению. Стороны ОВ и О₁В₁ также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А₁В₁ тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А₁О₁В₁ равны, что и требовалось доказать.

Угол между прямыми.

6.1 Угол между пересекающимися прямыми.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла.

Углом между двумя прямыми, называется наименьший

из углов между двумя прямыми.

Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α. Угол α такой, что .

6.2 Угол между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямой b. Прямые и пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми и , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Решение задач.

Задача 1. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N, и P – середины отрезков DA, DB, и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых:

а) ND и AB; б) PK и BC;

в) MN и AB; г) MP и AC;

д) NK и AC; е) MD и BC.

а) ND ∩ AB = B, поскольку N лежит между B и D;

б) PK пересекается с BC, поскольку PK не является средней линией BCD и поэтому не параллельна BC (PK ∩ BC = P1).

в) MN параллельна AB, т.к. MN – средняя линия ABD. Средняя линия треугольника параллельна основанию (MN AB).

г) MP параллельна AC, т.к. MP – средняя линия ACD (MP AC);

д) NK и AC скрещивающиеся, т.к. они не принадлежат одной плоскости;

е) MD и BC – скрещивающиеся, т.к. не принадлежат одной плоскости.

Задача 2.

Прямая с пересекает прямую а, параллельную прямой b. Докажите, что b и c – скрещивающиеся прямые.

Доказать: с и b – скрещиваются

Доказательство

1. .

Т.к., по условию задачи, , то через них можно провести плоскость, т.е. существует некоторая плоскость α, содержащая прямые a и b

2.

Прямые a и c пересекаются. Обозначим точку пересечения буквой M. Так как прямые a и b параллельны, то M не принадлежит b.

3. Ч.т.д.

1. Дайте определение скрещивающихся прямых.

2. Дайте определение параллельных прямых.

3. Дайте определение пересекающихся прямых.

4. Какие существуют варианты взаимного расположения двух прямых в пространстве.

5. Сформулируйте теоремы о скрещивающихся прямых.

6. Дайте определение сонаправленных лучей.

7. Сформулируйте теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

8. В случае пересекающихся прямых чему равен угол ?

Литература

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.- 255с.

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с.

Источник

2. Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Скрещивающиеся прямые

Нам известны два случая расположения прямых в пространстве a ∩ b; а || b. Общее для них: они лежат в одной плоскости (рис. 1, 2).

(по следствию из аксиомы)

(по определению параллельных прямых)

ЗАДАНИЕ №1 в рабочей тетради

Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, так как они не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: АВ ⊂ α, CD ∩ α = С, С ∉ АВ (рис. 4).

Доказать, что АВ скрещивается с CD.

Допустим, что CD и АВ лежит в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.

Плоскости совпадают, чего быть не может, так как прямая CD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и CD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с CD.

ЗАДАНИЕ №2 в рабочей тетради

Теорема :

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.

Доказательство: учащиеся разбирают по учебнику самостоятельно с последующей записью на доске и в тетрадях.

Дано: АВ скрещивается CD (рис. 6).

Построить α: АВ ⊂ α, CD || α.

1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || CD.

В доказательстве этой теоремы дается способ построения плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум скрещивающимся прямым. Рассмотреть задачу на построение.

Задание №3-№4 в рабочей тетради

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Источник

Урок «Углы с сонаправленными сторонами»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Углы с сонаправленными сторонами.

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить

Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм

Любая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая a называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Это одна из аксиом планиметрии.

Два луча OA и O1A1 в пространстве называются одинаково направленными (сонаправленными), если один из их содержит другой или они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей OO1.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

По условию теоремы нам даны углы АОВ и А1О1В1 и известно что их стороны соответственно сонаправлены т.е. ОА и О1А1, ОВ и О1В1 – сонаправленные лучи

Доказать что данные углы равны

При доказательстве ограничимся случая, когда углы лежат в разных плоскостях.

1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны. Проведем через них плоскости и как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки O1A1 и O1B1 равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.

Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник – параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1

4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1

5. из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следуем что треугольники AOB и A1O1B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1

Источник

Презентация по геометрии на тему «Углы с сонаправленными сторонами»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Углы с сонаправленными сторонами

Теоретический опрос Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? 2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) Пересекаться? б) Быть скрещивающимися?

Ответы 1.Нет 2. Да, да 3. Нет 4. AB скрещивается с A1B1 5. Нет

полуплоскость полуплоскость граница Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. а

Сонаправленные лучи О А М С К Р Два луча ОМ и АС, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОА В Лучи, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой Т Н Лучи ОМ и АС – сонаправлены Лучи ВР и КР – сонаправлены Лучи КР и ОМ, АС и ТН – не являются сонаправленными

Углы с сонаправленными сторонами A О О1 О2 A1 В2 A2 О3 A3

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны Теорема об углах с сонаправленными сторонами Дано: О и О1 с сонаправленными сторонами О = О1 Доказать:

Угол между двумя прямыми

a b 300 n 1000 m Угол между прямыми m и n равен 800. Угол между прямыми а и b равен 300.

Домашнее задание П.8, №№ 40,42

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1419981

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Петербургский Политех перевел студентов на дистанционку

Время чтения: 1 минута

Зарплаты педагогов Ростовской области вырастут в среднем на 10-15%

Время чтения: 2 минуты

АСИ организует конкурс лучших управленческих практик в сфере детского образования

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Конспект урока по теме «Угол с сонаправленными сторонами»

Геометрия,10 Дата 16.10.2017 Учитель: Чакал Э.М.

Угол с сонаправленными сторонами

1) ввести формулировку и доказательство теоремы о равенстве углов с ««направленными сторонами;

2) научится находить угол между прямыми в пространстве.

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний учащихся

а) Подготовить у доски доказательство признака скрещивающихся прямых.

б) Фронтальный теоретический опрос:

1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? (Нет.)

2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

б) Быть скрещивающимися? (Да.)

3. Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с? (Нет.)

4. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Точки А и А1 лежат на прямой а, точки В и В1 лежат на прямой b. Как будут расположены прямые АВ и А1В1? (Ответ: АВ скрещивается с A1B1.)

6. Каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы можно провести плоскость, содержащую все прямые? (Прямые попарно пересекаются или две параллельны, а третья их пересекает.)

Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала

Ввести понятие сонаправленных лучей и углов с сонаправленными сторонами.

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Два луча ОА и О1А1 (рис. 1), не лежащие на одной прямой, называются ««направленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1. Два луча ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

1. Найти сонаправленные лучи.

2. Указать лучи, которые не являются сонаправленными.

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано: ∠ O и ∠ О1 с сонаправленными сторонами (рис. 2).

Доказательство: На сторонах угла О отметим любые точки А и В и на соответственных сторонах угла О1 отметим точки А1 и В1 такие, что О1А1 = ОА и О1В1 = ОВ.

1. Рассмотрим ОАА1О1. — параллелограмм (по признаку). Значит, АА1 || ОО1 и АА1 = ОО1.

2. Рассмотрим ОВВ1О1. — параллелограмм (по признаку). Значит, ВВ1 || ОО1 и ВВ1 = ОО1.

3. Рассмотрим ΔАВО и ΔA1B1O1. ΔАВО = ΔА1В1О1 (по трем сторонам).

Ввести определение угла между пересекающимися прямыми.

Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1 и C1D1 соответственно параллельными АВ и CD (рис. 3).

Зависит ли величина угла φ от выбора точки М1?

Выбрать (отметим) любую точку М2 и построить А2В2 || АВ и C2D2 || CD.

Ответить на вопросы:

1. Почему А2В2 || A1B1 и C2D21 || C1D1? (По теореме о трех параллельных прямых.)

2. Являются ли углы ∠ A1M1D1 и ∠ A2M2D2 углами с соответственно параллельными сторонами? (Да.)

1) ∠ A1M1B1 = ∠ A2M2B2 (по изученной теореме).

2) Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.

4. Закрепление изученного материала

1. Устно. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 4).

Найдите угол между прямыми. 1) ВС и СС1 (90°); 2) АС и ВС(45°); 3) D1C1 и ВС(90°). 4) А1В1 и АС(45°).

2. Задача № 44 (на доске и в тетрадях).

Дано: OB || CD; OA и CD скрещиваются;

a) ∠ AOB = 40°; б) ∠ AOB = 135°; в) ∠ AOB = 90° (рис. 5).

Найти: угол между ОА и CD.

a) ∠ AOB = 40°; CD || ОВ, то угол между скрещивающимися прямыми ОА и CD равен 40°.

б) ∠ АОВ = 135°. Угол между пересекающимися прямыми ОА и ОВ равен: 180°- 135° = 45°. Угол между скрещивающимися прямыми ОА и CD равен 45°.

в) ∠ АОВ = 90°. Угол между скрещивающимися прямыми ОА и CD равен 90°. (Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 90°.)

3. Дополнительная задача

Определить: взаимное расположение прямых РК и АВ угол между РК и АВ.

1. АВ ∩ (ADC) = А; А ∉ РК, так как РК || АС (по свойству средней линии треугольника) ⇒ АВ и РК скрещиваются.

3. Угол между скрещивающимися прямыми равен 60°. (Ответ: АВ и РК скрещиваются; 60°.)

5. Подведение итогов урока

7.Домашнее задание П. 8; 9 № 40; 42.

Сегодня на уроке было интересно ___________________________________

Сегодня на уроке я научился _______________________________________

Сегодня на уроке мне показалось важным ____________________________.

Дать указание: повторить свойство четырехугольников, описанных около окружности.

№ 40. Дано: а скрещиваются b; (рис. 7).

Определить:

а) а ⊂ α, так как а скрещиваются b, то b ⊄ α.

б)

Определить: взаимное расположение CD и ЕК.

а) ЕК || АВ (по определению трапеции) ⇒ ЕК || CD (по теореме о трех параллельных прямых. CD || АВ (по определению параллелограмма);

б) АВ + ЕК = АЕ + ВК (по свойству четырехугольников, описанных около окружности). РABEK = АВ + ЕК + АЕ + ВК = 2 · (АВ + ЕК) = 2 · (22,5 + 27,5) = 100 (см). (Ответ: ЕК || CD; 100 см.)

Источник