Лемма и теорема в чем отличие
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Лемма и теорема в чем отличие
Здравствуйте, Ellin, Вы писали:
E>Друзья!
E>Чем отличаются эти понятия? У кого более мат. образование, помогите увидеть разницу. Может есть определения?
Принципиальное отличие леммы от теоремы лишь в том, что будучи доказанным утверждением, лемма полезна не сама по себе, а для доказательства других, более серьезных утверждений — теорем.
 | От: | Cruser |
| Дата: | 06.04.08 07:27 | |
| Оценка: | 3 (1) | |
Здравствуйте, Ellin, Вы писали:
E>Друзья!
E>Чем отличаются эти понятия? У кого более мат. образование, помогите увидеть разницу. Может есть определения?
 | От: | Ellin | www.rsdn.ru |
| Дата: | 06.04.08 07:36 | ||
| Оценка: |
 | От: | kl | http://stardog.com |
| Дата: | 06.04.08 10:12 | ||
| Оценка: |
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Здравствуйте, Ellin, Вы писали:
E>>Друзья!
E>>Чем отличаются эти понятия? У кого более мат. образование, помогите увидеть разницу. Может есть определения?
А>Принципиальное отличие леммы от теоремы лишь в том, что будучи доказанным утверждением, лемма полезна не сама по себе, а для доказательства других, более серьезных утверждений — теорем.
Это уже сто лет как размазалось. Pumping Lemma из теор. формальных языков, Urysohn’s Lemma из топологии — вот только навскидку пара лемм, которые более серьезны и самостоятельны, чем большинство теорем. Последняя вообще фундаментальна донельзя.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
ЛЕММА
Полезное
Смотреть что такое «ЛЕММА» в других словарях:
ЛЕММА — (греч. lemma, от lambano думаю, убеждаю). Предложение, доказанное раньше, на котором основывается последующее. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ЛЕММА в логике и математике положение, доказанное… … Словарь иностранных слов русского языка
лемма — теорема Словарь русских синонимов. лемма сущ., кол во синонимов: 1 • теорема (5) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
ЛЕММА — (от греческого lemma допущение), теорема, не имеющая самостоятельного значения, но используемая для доказательства других теорем … Современная энциклопедия
ЛЕММА — вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем … Большой Энциклопедический словарь
ЛЕММА — ЛЕММА, леммы, жен. (греч. lemma) (мат.). Теорема, не имеющая самостоятельного значения, нужная лишь для доказательства другой теоремы. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
ЛЕММА — ЛЕММА, ы, жен. В математике: вспомогательная теорема, необходимая для доказательства другой теоремы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
ЛЕММА — жен., греч. математическое предложенье, выводимое следствием из предыдущего, доказанного. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Леммы и теоремы
| Заслуженный участник |
 |
Последний раз редактировалось Modest 01.06.2018, 07:59, всего редактировалось 2 раз(а).
| Заслуженный участник |
 |
Последний раз редактировалось Modest 01.06.2018, 07:58, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось Modest 01.06.2018, 07:58, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось Modest 01.06.2018, 07:58, всего редактировалось 1 раз.
 |
Последний раз редактировалось eugensk 01.06.2018, 08:48, всего редактировалось 4 раз(а).
А вы пишете схолии? Наверняка они здорово смотрятся, надо попробовать.
| Заслуженный участник |
|
Для структурирования текста следует использовать другие средства, а использование разнообразных наименований для однородных элементов текста этому весьма мало помогает. Тем более, что обычно леммами именуют вспомогательные утверждения, а теоремами — основные, причём, чередование тех и других диктуется вовсе не желанием структурировать текст. Но разделение утверждений на вспомогательные и основные является в значительной степени относительным, и «самая главная теорема» в одной работе может оказаться одной из многих вспомогательных лемм в другой.
В том случае, который я описал, речь шла о небольшой заметке, в которой я доказывал определённое интересное мне утверждение. Надо сказать, что в то время области интересов моя и Пасынкова были весьма близки, и то, что я считал вспомогательными и побочными утверждениями (и постеснялся назвать теоремами), с точки зрения Пасынкова были не хуже моей «самой главной теоремы»/
 |
|
 |
Я для себя все разновидности теорем называю формальная теорема.
| Заслуженный участник |
 |
и почти ничего другого не использует. Доказательство короткое и простое, состоит из ссылок на теорему и небольшое количество ранее доказанных формальных теорем.
. утверждение есть формальная теорема, которая не является ни леммой, ни следствием, но так легко доказывается, что автор постеснялся назвать это теоремой. Вот это деление на теоремы и утверждения лично мне всегда только мешает, поэтому в конспектах я всё это называю теоремами. А вот понятия леммы и следствия нахожу полезными. Впрочем, это мнение самонедоучки, основанное на конспектировании некоторого количества учебников математики.
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось arseniiv 03.06.2018, 17:19, всего редактировалось 2 раз(а).
Лемма vs. теорема — это разделение неудобное хотя бы по той причине, что зависимости обычно сложнее, чем два слоя. Это не значит, конечно, что никак не обозначать предполагаемую авторами структуру зависимостей* — ещё лучше.
* Например, сделав текст последовательностью идущих друг за другом теорем без всяких пояснений о мотивах, целях и том, как были угаданы (если имеются) магические значения. Конечно, постфактум читатель разберётся, но…
| Заслуженный участник |
 |
Последний раз редактировалось g______d 05.06.2018, 00:18, всего редактировалось 1 раз.
Есть хороший пример «леммы», за которую были даны крупные призы
Как мне кажется, это скорее исключение из правил. Кроме всего прочего, разделение на леммы и теоремы несёт следующую важную информацию: какие именно результаты работы сам автор считает основными.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей