Линейная логика что это
СОДЕРЖАНИЕ
Связи, двойственность и полярность
Синтаксис
Язык классической линейной логики (CLL) определяется индуктивно с помощью обозначения BNF
| А | знак равно | п ∣ п ⊥ |
| ∣ | А ⊗ А ∣ А ⊕ А | |
| ∣ | А & А ∣ А ⅋ А | |
| ∣ | 1 ∣ 0 ∣ ⊤ ∣ ⊥ | |
| ∣ | ! А ∣? А |
| Символ | Имя | ||
|---|---|---|---|
| ⊗ | мультипликативная конъюнкция | раз | тензор |
| ⊕ | аддитивная дизъюнкция | плюс | |
| & | аддитивное соединение | с | |
| ⅋ | мультипликативная дизъюнкция | номинал | |
| ! | конечно | хлопнуть | |
| ? | почему бы нет | ||
| ( p ) ⊥ = p ⊥ | ( p ⊥ ) ⊥ = p | ||||
| ( A ⊗ B ) ⊥ = A ⊥ ⅋ B ⊥ | ( A ⅋ B ) ⊥ = A ⊥ ⊗ B ⊥ | ||||
| ( A ⊕ B ) ⊥ = A ⊥ и B ⊥ | ( A и B ) ⊥ = A ⊥ ⊕ B ⊥ | ||||
| (1) ⊥ = ⊥ | (⊥) ⊥ = 1 | ||||
| (0) ⊥ = ⊤ | (⊤) ⊥ = 0 | ||||
| (! A ) ⊥ =? ( A ⊥ ) | (? A ) ⊥ =! ( A ⊥ ) |
| добавлять | мул | exp | |
|---|---|---|---|
| позиция | ⊕ 0 | ⊗ 1 | ! |
| негр | & ⊤ | ⅋ ⊥ | ? |
Последовательное представление исчисления
Теперь мы дадим правила вывода, описывающие, как строить доказательства секвенций.
Во-первых, чтобы формализовать тот факт, что нас не волнует порядок предложений внутри контекста, мы добавляем структурное правило обмена :
Обратите внимание, что мы не добавляем структурные правила ослабления и сокращения, потому что мы действительно заботимся об отсутствии предложений в секвенции и количестве имеющихся копий.
Затем мы добавляем начальные секвенции и разрезы :
Мультипликативы
Правила мультипликативной конъюнкции (⊗) и дизъюнкции (⅋):
и для их агрегатов:
Обратите внимание, что правила мультипликативной конъюнкции и дизъюнкции допустимы для простой конъюнкции и дизъюнкции в классической интерпретации (т. Е. Они допустимые правила в LK ).
Добавки
Правила аддитивной конъюнкции (&) и дизъюнкции (⊕):
и для их агрегатов:
Заметим, что правила аддитивной конъюнкции и дизъюнкции снова допустимы в классической интерпретации. Но теперь мы можем объяснить основу мультипликативного / аддитивного различия в правилах для двух разных версий конъюнкции: для мультипликативной связки (⊗) контекст заключения ( Γ, ∆ ) разбивается между предпосылками, тогда как для связки аддитивного случая (&) контекст заключения ( Γ ) целиком переносится в обе посылки.
Экспоненты
Экспоненты используются для предоставления контролируемого доступа к ослаблению и сокращению. В частности, мы добавляем структурные правила ослабления и сжатия для предложений?
и используйте следующие логические правила:
Замечательные формулы
В дополнение к двойственности Де Моргана, описанной выше, некоторые важные эквивалентности в линейной логике включают:
Распределительность
| A ⊗ ( B ⊕ C ) ≣ ( A ⊗ B ) ⊕ ( A ⊗ C ) |
| ( A ⊕ B ) ⊗ C ≣ ( A ⊗ C ) ⊕ ( B ⊗ C ) |
| A ⅋ ( B и C ) ≣ ( A ⅋ B ) и ( A ⅋ C ) |
| ( A и B ) ⅋ C ≣ ( A ⅋ C ) и ( B ⅋ C ) |
По определению A ⊸ B как A ⊥ ⅋ B последние два закона дистрибутивности также дают:
| A ⊸ ( B и C ) ≣ ( A ⊸ B ) и ( A ⊸ C ) |
| ( A ⊕ B ) ⊸ C ≣ ( A ⊸ C ) и ( B ⊸ C ) |
Карта, которая не является изоморфизмом, но играет решающую роль в линейной логике:
| ( A ⊗ ( B ⅋ C )) ⊸ (( A ⊗ B ) ⅋ C ) |
Линейные распределения являются фундаментальными в теории доказательств линейной логики. Последствия этой карты были впервые исследованы и названы «слабым распределением». В последующей работе оно было переименовано в «линейное распределение», чтобы отразить фундаментальную связь с линейной логикой.
Следующие формулы дистрибутивности в общем случае не эквивалентны, а только импликации:
Кодирование классической / интуиционистской логики в линейной логике
Истолкование ресурса
Лафон (1993) впервые показал, как интуиционистская линейная логика может быть объяснена как логика ресурсов, таким образом предоставляя логическому языку доступ к формализмам, которые можно использовать для рассуждений о ресурсах внутри самой логики, а не, как в классической логике, с помощью средства нелогических предикатов и отношений. Для иллюстрации этой идеи можно использовать классический пример торгового автомата Тони Хоара (1985).
Другие системы доказательства
Доказательства сети
Например, эти два доказательства идентичны «морально»:
Линейная логика
СОДЕРЖАНИЕ
Связи, двойственность и полярность [ править ]
Синтаксис [ править ]
Язык классической линейной логики (CLL) определяется индуктивно с помощью обозначения BNF
| А | знак равно | п ∣ п ⊥ |
| ∣ | А ⊗ А ∣ А ⊕ А | |
| ∣ | А & А ∣ А ⅋ А | |
| ∣ | 1 ∣ 0 ∣ ⊤ ∣ ⊥ | |
| ∣ | ! А ∣? А |
| Символ | Имя | ||
|---|---|---|---|
| ⊗ | мультипликативная конъюнкция | раз | тензор |
| ⊕ | аддитивная дизъюнкция | плюс | |
| & | аддитивное соединение | с участием | |
| ⅋ | мультипликативная дизъюнкция | номинал | |
| ! | конечно | хлопнуть | |
| ? | почему нет | ||
| ( p ) ⊥ = p ⊥ | ( p ⊥ ) ⊥ = p | ||||
| ( A ⊗ B ) ⊥ = A ⊥ ⅋ B ⊥ | ( A ⅋ B ) ⊥ = A ⊥ ⊗ B ⊥ | ||||
| ( A ⊕ B ) ⊥ = A ⊥ и B ⊥ | ( A и B ) ⊥ = A ⊥ ⊕ B ⊥ | ||||
| (1) ⊥ = ⊥ | (⊥) ⊥ = 1 | ||||
| (0) ⊥ = ⊤ | (⊤) ⊥ = 0 | ||||
| (! A ) ⊥ =? ( A ⊥ ) | (? A ) ⊥ =! ( A ⊥ ) |
| Добавлять | мул | exp | |
|---|---|---|---|
| позиция | ⊕ 0 | ⊗ 1 | ! |
| негр | & ⊤ | ⅋ ⊥ | ? |
Представление последовательного исчисления [ править ]
Теперь мы дадим правила вывода, описывающие, как строить доказательства секвенций. [4]
Во-первых, чтобы формализовать тот факт, что нас не волнует порядок предложений внутри контекста, мы добавляем структурное правило обмена :
Обратите внимание, что мы не добавляем структурные правила ослабления и сокращения, потому что мы действительно заботимся об отсутствии предложений в секвенции и количестве имеющихся копий.
Затем мы добавляем начальные секвенции и разрезы :
Множители [ править ]
Правила мультипликативной конъюнкции (⊗) и дизъюнкции (⅋):
и для их агрегатов:
Заметьте, что правила мультипликативной конъюнкции и дизъюнкции допустимы для простой конъюнкции и дизъюнкции в классической интерпретации (т. Е. Они допустимые правила в LK ).
Добавки [ править ]
Правила аддитивной конъюнкции (&) и дизъюнкции (⊕):
и для их агрегатов:
Заметим, что правила аддитивной конъюнкции и дизъюнкции снова допустимы в классической интерпретации. Но теперь мы можем объяснить основу мультипликативного / аддитивного различия в правилах для двух разных версий конъюнкции: для мультипликативной связки (⊗) контекст заключения ( Γ, ∆ ) разбивается между предпосылками, тогда как для связки аддитивного случая (&) контекст заключения ( Γ ) целиком переносится в обе посылки.
Экспоненты [ править ]
Экспоненты используются для предоставления контролируемого доступа к ослаблению и сокращению. В частности, мы добавляем структурные правила ослабления и сжатия для предложений? [5]
и используйте следующие логические правила:
Замечательные формулы [ править ]
В дополнение к двойственности Де Моргана, описанной выше, некоторые важные эквивалентности в линейной логике включают:
Распределительность
| A ⊗ ( B ⊕ C ) ≣ ( A ⊗ B ) ⊕ ( A ⊗ C ) |
| ( A ⊕ B ) ⊗ C ≣ ( A ⊗ C ) ⊕ ( B ⊗ C ) |
| A ⅋ ( B и C ) ≣ ( A ⅋ B ) и ( A ⅋ C ) |
| ( A и B ) ⅋ C ≣ ( A ⅋ C ) и ( B ⅋ C ) |
По определению A ⊸ B как A ⊥ ⅋ B последние два закона дистрибутивности также дают:
| A ⊸ ( B и C ) ≣ ( A ⊸ B ) и ( A ⊸ C ) |
| ( A ⊕ B ) ⊸ C ≣ ( A ⊸ C ) и ( B ⊸ C ) |
Карта, которая не является изоморфизмом, но играет решающую роль в линейной логике:
| ( A ⊗ ( B ⅋ C )) ⊸ (( A ⊗ B ) ⅋ C ) |
Линейные распределения являются фундаментальными в теории доказательств линейной логики. Следствия этого отображения были впервые исследованы в [6] и названы «слабым распределением». В последующей работе оно было переименовано в «линейное распределение», чтобы отразить фундаментальную связь с линейной логикой.
Следующие формулы дистрибутивности в общем случае не эквивалентны, а только импликации:
Кодирование классической / интуиционистской логики в линейной логике [ править ]
Интерпретация ресурса [ править ]
Лафон (1993) впервые показал, как интуиционистская линейная логика может быть объяснена как логика ресурсов, таким образом предоставляя логическому языку доступ к формализмам, которые можно использовать для рассуждений о ресурсах внутри самой логики, а не, как в классической логике, с помощью средства нелогических предикатов и отношений. Для иллюстрации этой идеи можно использовать классический пример торгового автомата Тони Хоара (1985).
Другие системы доказательств [ править ]
Доказательные сети [ править ]
Например, эти два доказательства идентичны «морально»:
Семантика [ править ]
Алгебраическая семантика [ править ]
Разрешимость / сложность вывода [ править ]
Варианты [ править ]
Многие вариации линейной логики возникают в результате дальнейшего изменения структурных правил:
Рассмотрены различные интуиционистские варианты линейной логики. Если основано на представлении последовательного исчисления с одним выводом, как в ILL (интуиционистская линейная логика), связки ⅋, ⊥ и? отсутствуют, и линейная импликация рассматривается как примитивная связка. В FILL (полная интуиционистская линейная логика) связки ⅋, ⊥ и? присутствуют, линейная импликация является примитивной связкой, и, подобно тому, что происходит в интуиционистской логике, все связки (кроме линейного отрицания) независимы. Существуют также расширения первого и более высокого порядка линейной логики, формальное развитие которых в некоторой степени стандартно (см. Логику первого и высшего порядка ).
Об ограничениях линейной логики
Квинтэссенцией человеческого знания стала математика, которая вобрала в себя все особенности линейной логики.
В сущности, вся математика отражает то, как мы формируем свой Тональ. Если каждое наблюдаемое нами явление можно представить, как точку на некотором графике, то закономерность между этими явлениями будет представлять собой линию, проходящую между этими точками.
Но вот я решил проделать более масштабный эксперимент и существенно расширить границы значений начальных условий. Для этого я провёл огромное количество дополнительных экспериментов в более широком диапазоне. Теперь у меня в десять раз больше точек чем было изначально. И что я вижу теперь? А теперь я вижу, что точки больше не лежат на прямой линии. Больше похоже, что они лежат на окружности большого радиуса. А то место, где я раньше рисовал прямую линию, слега закруглено. Настолько «слегка», что я даже и не заметил этого закругления. Теперь мне придётся вводить уже четыре аксиомы, чтобы описать данное явление: первую точку, вторую точку, третью точку, окружность, проходящую между этими тремя точками.
Я не знаю, как работает нелинейная логика. Этот процесс слишком сложнен, чтобы его можно было объяснить на пальцах.
И тем не менее. С этой задачей успешно справляется ЛЮБОЙ живой организм. И никто нас этому не учил. Никто не разрабатывал для нас специальную технологию. Это умение уже заложено в наших генах в результате миллиардов лет эволюции. А те, кто так и не смог решить эту задачу, отсеялись естественным отбором ещё на подступах к жизни.
Так же и с нелинейной логики. Если ты не умеешь адекватно воспринимать реальность, то естественный отбор непременно тебя накажет. Ведь не сумев вовремя обнаружить тигра там, где по законам линейной логики его быть не должно, ты окажешься у него на столе, даже не оставив потомства.
Дополнительную информацию по данному вопросу вы так же можете прочитать здесь:
«Растровая» и «векторная» Карты мира
Мышление. Линейная логика. Логика Образная
Когда вы читаете книгу, текст, вы, по сути, видите перед собой линию из символов (букв). То есть, с самого начала обучения вы попадаете в зону линейного. Пожалуй, в основном информацию передают таким образом, за исключением фильмов и видео, хотя сама по себе картинка — это ещё далеко не всегда Образ.
Представьте себе, что текст записан по окружности, при этом не в линейной порядковости, а, если самое близкое — в виде узора. Следовательно, читать линейно, то есть, привычно последовательно его не удастся. Не хватит данных для сопоставления данных, исходя из правил линейности. Именно это, и является ключевым отличием линейной логики от логики Образной. Логика же основывается на том, как были записаны алгоритмы. Линейно или Образно. Это, скажем так, различные языки. Качественно отличающиеся друг от друга. Безусловно, для чтения Образов и Образной логики требуется Образный интеллект, который по определению шире линейного. Так как в любой момент для чтения образа необходимо объять вниманием единомоментно несколько или много точек, вместо чтения линейной последовательности. Скорость восприятия при развитой Образной логике отличается в разы. Чтобы вы понимали, есть такая психология труда, например, где общие исследования привели к тому, что человек в норме может держать во внимании 3 точки, а 5 это уже супер человек. Но мы же понимаем, что в Образе количество точек может в разы и в десятки раз превышать количества 3 и 5. Следовательно, очевидно, что требуется какое-то расширение интеллекта. Там и точки-то ведь не линейно расположены, а значит, не только прямо перед глазами.
Человек с развитой Образной логикой в состоянии понять человека с логикой линейной. Человеку с логикой линейной будет крайне трудно понять человека с логикой Образной.
Образная логика создаёт. Линейная логика лишь передаёт. Различия очевидны. Линия может быть частью узора. Узор не войдёт в линию по определению.
Тем не менее, удивительно, но факт. Книга книге рознь. В одной книге читается Образ, в другой — нет. Обычно это ощущается, как интересно или скучно и нудно, надуманно. Для людей с потенциалом Образного мышления и Образной логики — это как дважды два.
Часты случаи, когда человек, полностью погруженный в логику линейную, изо всех сил пытается понять другого человека, передающего логикой образной, но это отличные друг от друга языки, даже если вы оба высказываетесь на русском. Такая же ситуация, когда Человек с Образным мышлением и логикой изо всех сил пытается донести Образно человеку с логикой линейной.
Но дело не только в типе или классе обучения. Дело ещё и в составляющих. Очевидно, что для чтения линий и для чтения Образов используются отличные друг от друга составляющие. И это означает, что у человека с линейной логикой составляющая, способная читать и передавать Образ либо отсутствует, либо выключена, либо находится в спящем режиме, либо не сопоставляется с составляющей линейного мышления, либо сопоставление сильно отстаёт по скорости. Да, именно сопоставление, то есть фактически перевод. То есть, очевидно, что для того, чтобы интеллект стал способен сопоставлять, ему требуется какая-то достаточно высокая скорость, а также данные для сопоставления.
Те, к кому в обращаетесь, кем бы вы их не называли, но те, кто действительно могут помочь — это те, кто общается на языке Образном. И максимально частая причина, скажем так, недопониманий кроется в отличии понятий. Дело в том, что стоит и имеет смысл брать во внимание ещё и звучание. Это тоже составляющая Образа. Если три составляющие — текст, звук и визуальный образ, передаваемый вами при запросе отличаются друг от друга, часто до обратных значений. То, откровенно, как же вас понять? В таком случае основных вариантов остаётся два. Либо вы чётко передаёте визуальный образ без звука и слов. Либо вы точно знаете все точные значения звуков букв и слов в тех смыслах, которые известны тем, к кому вы обращаетесь. И, как вы понимаете, если бы со вторым вариантом было бы всё так гладко и честно, то вопросы бы отпали сами собой.
И получается, что если вы хотите воспринимать напрямую, то путь ваш через расширение интеллекта.
С чего можно начать для облегчения восприятия? Вы можете припомнить. В каких случаях ваши желания исполнялись достаточно быстро, либо вы быстро получали ответы. Как это было? Какие слова конкретно вы использовали. Уже понятно из вышеописанного, что имеет смысл краткость сообщений. Используйте интуицию по полной, выбирайте только те слова, символы, которые как бы высвечиваются для вас. Что ещё вы делали? Вы передавали визуальными образами? Звучанием?
Если вы понимаете то, о чём здесь было рассказано, вероятно, вы сталкивались с непониманием. Что ж. С вами всё в порядке.
Линейная логика это субструктурная логика предложено Жан-Ив Жирар как уточнение классический и интуиционистская логика, присоединяясь к дуальности бывшего со многими из конструктивный свойства последнего. [1] Хотя логика также изучалась сама по себе, в более широком смысле идеи линейной логики оказали влияние в таких областях, как языки программирования, семантика игры, и квантовая физика (поскольку линейную логику можно рассматривать как логику квантовая теория информации), [2] а также лингвистика, [3] особенно из-за того, что он делает упор на ограниченность ресурсов, двойственность и взаимодействие.
Содержание
Связи, двойственность и полярность
Синтаксис
Язык классическая линейная логика (CLL) индуктивно определяется Обозначение BNF
Столбцы таблицы предлагают другой способ классификации связок линейной логики, называемый полярность: связки, инвертированные в левом столбце (⊗, ⊕, 1, 0,!), называются положительный, а их двойники справа (⅋, &, ⊥, ⊤,?) называются отрицательный; ср. таблица справа.
Последовательное представление исчисления
Теперь мы даем правила вывода описывая, как строить доказательства секвенций. [4]
Во-первых, чтобы формализовать тот факт, что нас не волнует порядок предложений внутри контекста, мы добавляем структурное правилообмен:
Обратите внимание, что мы делаем нет добавьте структурные правила ослабления и сокращения, потому что мы действительно заботимся об отсутствии предложений в секвенции и количестве имеющихся копий.
Далее мы добавляем начальные последовательности и порезы:
Правило сокращения можно рассматривать как способ составления доказательств, а начальные последовательности служат в качестве единицыдля композиции. В определенном смысле эти правила избыточны: по мере того, как мы вводим дополнительные правила для построения доказательств ниже, мы сохраняем свойство, согласно которому произвольные начальные секвенции могут быть получены из атомарных начальных секвенций, и что всякий раз, когда секвенция доказуема, ей можно дать разрез. бесплатное доказательство. В конечном итоге это каноническая форма собственность (которую можно разделить на полнота атомарных начальных секвенций и теорема исключения сечения, вызывая понятие аналитическое доказательство) лежит в основе приложений линейной логики в информатике, поскольку позволяет использовать логику в поиске доказательств и в качестве ориентированного на ресурсы лямбда-исчисление.
Теперь мы объясняем связки, давая логические правила. Обычно в последовательном исчислении один дает и «правые правила», и «левые правила» для каждой связки, по существу описывая два способа рассуждения о предложениях, включающих эту связку (например, проверка и фальсификация). В одностороннем представлении вместо этого используется отрицание: правые правила для связки (скажем, ⅋) эффективно играют роль левых правил для ее двойственного (⊗). Итак, следует ожидать определенного «гармония»между правилом (ями) для связки и правилом (ями) для двойственного.
Мультипликативы
Правила мультипликативной конъюнкции (⊗) и дизъюнкции (⅋):
и для их агрегатов:
Обратите внимание, что правила мультипликативной конъюнкции и дизъюнкции допустимый объяснять соединение и дизъюнкция в классической интерпретации (т.е. они являются допустимыми правилами в LK).
Добавки
Правила аддитивной конъюнкции (&) и дизъюнкции (⊕):
и для их агрегатов:
Заметим, что правила аддитивной конъюнкции и дизъюнкции снова допустимы в классической интерпретации. Но теперь мы можем объяснить основу различия мультипликативного / аддитивного в правилах для двух разных версий конъюнкции: для мультипликативной связки (⊗) контекст заключения ( Γ, Δ ) делится между предпосылками, тогда как для связки аддитивного падежа (&) контекст заключения ( Γ ) целиком переносится в оба помещения.
Экспоненты
Показательные числа используются для предоставления контролируемого доступа к ослаблению и сокращению. В частности, мы добавляем структурные правила ослабления и сжатия для предложений? [5]
и используйте следующие логические правила:
Замечательные формулы
В добавок к Двойственности де Моргана Как описано выше, некоторые важные эквиваленты в линейной логике включают:
Карта, которая не является изоморфизмом, но играет решающую роль в линейной логике:
( А ⊗ ( B ⅋ C )) ⊸ (( А ⊗ B ) ⅋ C )
Линейные распределения являются фундаментальными в теории доказательства линейной логики. Последствия этой карты были впервые исследованы в [6] и называется «слабым распределением». В последующей работе оно было переименовано в «линейное распределение», чтобы отразить фундаментальную связь с линейной логикой.
Кодирование классической / интуиционистской логики в линейной логике
Формально существует перевод формул интуиционистской логики в формулы линейной логики таким способом, который гарантирует доказуемость исходной формулы в интуиционистской логике тогда и только тогда, когда переведенная формула доказуема в линейной логике. С использованием Негативный перевод Гёделя – Гентцена, таким образом, мы можем встроить классическую логику первого порядка в линейную логику первого порядка.
Истолкование ресурса
Лафон (1993) впервые показал, как интуиционистская линейная логика может быть объяснена как логика ресурсов, таким образом предоставляя логическому языку доступ к формализмам, которые можно использовать для рассуждений о ресурсах внутри самой логики, а не, как в классической логике, с помощью средства нелогических предикатов и отношений. Тони Хоар Классический пример торгового автомата (1985) может быть использован для иллюстрации этой идеи.
На примере торгового автомата рассмотрим «ресурсные интерпретации» других мультипликативных и аддитивных связок. (Экспоненты предоставляют средства для объединения этой интерпретации ресурса с обычным понятием постоянного логическая правда.)
Другие системы доказательства
Доказательства сети
Представлен Жан-Ив Жирарбыли созданы сети доказательств, чтобы избежать бюрократия, вот и все, что делает два вывода разными с логической точки зрения, но не с «моральной» точки зрения.
Например, эти два доказательства идентичны «морально»: