Математические софизмы что это такое
«Математические софизмы»
2. Софизм как понятие
3. Экскурс в историю
4. Алгебраические софизмы
5. Геометрические софизмы
6. Арифметические софизмы
Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел.
Глава 1. «Понятие софизма. Исторические сведения»
Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н. э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.
Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.
Подобных софизмов действительно очень много, но хотелось бы больше всего разобрать некоторые математические софизмы, которые наиболее популярны и известны. Об этом и будет следующая глава.
Глава 2. «Математические софизмы»
Глава 2. «Математические софизмы»Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
 |
решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1)
подстановкой у из 2го ур-я в 1 по-
лучаем х+8-х=6, откуда 8=6
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:
Х+2у=6,
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т. е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.
Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
2. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места»
Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т. е.
И попробуем найти значение этой суммы.
Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т. е.
Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда
3. «Дважды два равно пяти».
Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.
4. «Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
— с с
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:
— с с
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.
1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»
Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т. е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.
2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
3. «Катет равен гипотенузе»
Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.
1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.
Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему:
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2).
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.
Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств.
Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.
Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства
что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде
(В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.
4. «Ахиллес никогда не догонит черепаху»
Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения..
Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.
даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.
Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.
Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.
Москва, «Просвещение», 2003г.
Москва, «Просвещение», 1988г.
«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г
Исследовательская работа по теме «Математические софизмы»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Администрация города Нижнего Новгорода
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
603124, город Нижний Новгород, улица Лесной городок, дом 6-а тел. 2218983
Выполнил: Мокрушенко Георгий
Научный руководитель: Грязева
«История ошибок человеческого ума,
возможно, так же важна,
как история его движения вперед к истине».
Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?
Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой – «Математические софизмы: обман или путь к открытию?». Речь в ней пойдет о софизмах.
В процессе работы я выяснил, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.
Теме софизмов посвящено много публикаций и книг, таких как, книга для учащихся 7-11 классов Мадера А.Г и Мадера Д.А. «Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям», книга Литцмана В. «Где ошибка?» и множество других замечательных авторов, среди которых не могу не упомянуть нашего земляка Михаила Андреевича Давыдова, который в своей книге «Красота математики» посвятил одну из глав математическим софизмам.
Цель моего исследования – понять, что такое математические софизмы, научиться их разгадывать. Для достижения данной цели передо мной стояли следующие задачи:
узнать, как и откуда появились софизмы
привести примеры софизмов
разобрать несколько примеров
понять, как найти ошибку в них
проведя разбор софизмов, сделать вывод
Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.
Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).
Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).
Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).
Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).
Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:
это утверждение (умозаключение)
по существу — ложное
ошибка допущена и замаскирована намеренно.
Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.
Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям, «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным а Афинах. Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приемам ведения спора, красноречию. Одним из представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть гражданское искусство».
Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает, поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное одновременно, таким образом, они приучали людей к широте взглядов.
Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.
Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:
логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа».
терминологические – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π», «Сколько будет: пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5 + (2*2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2).
ошибки в применении формул. Например, «Чётное и нечётное»: 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные.
Математические софизмы что это такое
«История ошибок человеческого ума,возможно, так же важна,как история его движения вперед к истине».
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно давно, их можно найти в различных книгах, журналах. Некоторые из них передаются из поколения в поколение. Я считаю, что данная тема невероятно актуальна в наше время, ведь применение софизмов на уроках математики, на мой взгляд, могло бы помочь ученикам в получении знаний, вызвать интерес одноклассников к предмету.
Мной была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что познакомившись с подробным разбором ошибок в софизмах, учащиеся поймут, что неточные знания формулировок теорем, математических формул, правил и условий, при которых они выполняются, а так же неумение анализировать построение чертежа к геометрической задаче, может привести к получению абсурдных результатов, противоречащих общепринятым нормам.
Целью моего исследования является всесторонний анализ понятия «софизм», выяснение влияния софизмов на развитие логики, привлечение интереса учащихся к данной теме.
Занимаясь этой научно-исследовательской работой, я выясню: нужно ли изучать софизмы, а так же помогу учащимся 7-8 классов более подробно познакомить с один из разделов занимательной математики и постичь его тайны.
II. Понятие «софизм»
Софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.
III. История софистики
Софисты (от греч. «софос»– мудрый) – представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции сер. 5–1-й пол. 4 вв. до н.э., платные преподаватели красноречия и различных знаний, считавшихся необходимыми для деятельного и успешного участия в гражданской жизни. Новая ориентация софистического движения по сравнению с досократиками состояла в исключительном интересе к человеку и обществу и почти полному игнорированию натурфилософской проблематики. Основные сочинения софистов до нас не дошли, об их взглядах можно судить главным образом по сочинениям их оппонентов – Платона и Аристотеля. К старшим софистам (2-я пол. 5 в. до н.э.) причисляют Протагора, Горгия, Гиппия, Продика, Антифонта, Крития. К следующему за ними поколению младших относят Ликофрона, Алкидаманта, Фрасимах
Свою главную педагогическую и просветительскую задачу софисты видели в воспитании «добродетели» и «умении хорошо говорить», что подразумевало знакомство с основами истории, права, теоретических дисциплин, т.е. математики и философии. При этом общей чертой их учений был релятивизм, нашедший классическое выражение в положении Протагора «человек – мера всех вещей»: в интерпретации Платона это означало отказ от критериев истинности, абсолютизацию любого частного мнения и оправдание интеллектуального произвола. Упрочению представления об отсутствии абсолютной истины и объективных ценностей способствовал широко применявшийся софистами метод сопоставления противоречивых гражданских норм и религиозных обрядов, господствовавших у различных народов. Важнейшую роль играло противопоставление природы и закона, где природа выполняла функцию элемента объективного и постоянного, а закон, установленный произволом людей, находящихся у власти, – элемента изменчивого и произвольного.
Много внимания софисты уделяли разработке приемов убедительности речи и разработке логики. Протагор сделал первые попытки систематизировать приемы умозаключения. Ликофрон анализировал роль связки «есть» в предложении. Протагор, согласно традиции, положил начало словесным состязаниям, в которых многие софисты прибегали к логическим передержкам и парадоксам, получившим уже в древности название «софизмов»; он же ввел в практику т.н. «двойные речи», когда практиковалось умение говорить «за» и «против» одного и того же тезиса. Горгий и другие софисты развили преподавание ораторского искусства, заложили основы науки о языке. Протагор занимался категориями словоизменения и синтаксисом предложения. Продик разработал основы учения о синонимах. В социально-политической области были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей. Алкидамант заявлял, что «бог сделал всех свободными, природа никого не сделала рабом».
Софисты не были объединены институционально в рамках определенной «школы», их взгляды не отличались единством даже по основным вопросам. В то время как «аноним Ямвлиха» считал законы основой нормального существования людей, Антифонт объявлял государственные установления злом. Ликофрон отводил закону роль гаранта личных прав граждан, а Фрасимах, по Платону, утверждал, что правители везде навязывают гражданам выгодные для себя законы. Тем не менее, консолидация различных мыслителей вокруг определенного комплекса идей позволяет зафиксировать начало, а конец популярности того же комплекса идей позволяет определить завершающий момент истории движения. Вследствие усиления в Афинах консервативного умонастроения после поражения в Пелопоннесской войны, просветительский рационализм софизма потерял ту широкую социальную поддержку, которой пользовался в пору своего расцвета. Дальнейшее развитие многих идей, обсуждавшихся или только намеченных греческой софистикой, происходило в сократических школах, особенно в философских школах Платона и Аристотеля.
В наше время учёные продолжают обращаться к софизмам.
IV. Классификация ошибок.
Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.
Учёные, занимающиеся изучением софизмов, делят все ошибки на 3 класса:
Логические – основанные на нарушении правил логики.
Терминологические – не точное, неясное для понимания или неправильное словоупотребление и построение фразы. Например: «сколько будет трижды два плюс два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (3*2)+2 или 3*(2+2).
Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма: Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа» Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной» Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено» Особенно распространённая ошибка употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза —металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.
Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы.
Существует несколько классов терминологических ошибок:
Ошибка гомонимия. Например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
Ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 π в том смысле, что сумма меньше 2 π.
Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: «все углы треугольника равны 2 π» в смысле «каждый угол равен сумме 2 прямых углов».
Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.
Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.
Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.
Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.
При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.
V. Математические софизмы
В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознав ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математических дисциплин. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1)«Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-с и –а/с.
Они равны, так как каждое из них равно – ( а/с ). Можно составить пропорцию: а/-с = –а/с.
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.
(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).
2) «Всякое положительное число является отрицательным»
Пусть п — положительное число
Очевидно, 2п-1В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А